等价输入干扰：LMI镇稳

Bohao Zhao2025-04-252025-04-25

等价输入干扰：LMI镇稳

得有一点EID基础，不懂的或者我没写到的看上面论文去~

前言

假设需要考虑建模的不确定性，不确定性的存在使得分离定理不再适用。因此，状态观测器和状态反馈控制器不能独立设计。为了解决这个问题，我们需要建立一个新的框架，同时设计状态观测器和状态反馈控制器的增益，即学习用利用线性矩阵不等式提出稳定性条件和控制器设计方法。

准备工作

在这里插入图片描述

不确定控制对象(Uncertain Plant)：

其中不确定项满足：

未知，但满足下述式子：

内部模型(Internal Model)：

状态观测器(State Observer)：

令观测误差为，且用来描述闭环系统变量，可以整理得到一个关于确定项和不确定项分开的状态空间表达式，如下：希望这个关于的空间表达式能够镇定，其中参数如下：

LMI镇定和控制器参数设计

引理

引理1（Schur补）：对于给定的对称矩阵：

下述条件等价：

，
且，
且 .

引理2：对于的给定矩阵，存在一个矩阵，对于任意，当且仅当 X 可分解为

使得。

引理3：设和是上的二次矩阵函数，且对于所有，。那么对于所有，当且仅当存在一个，使得成立时，。

定理1：对于给定的参数和，如果存在对称正定矩阵，以及适当的矩阵，且以下 LMI 可行，则系统 (20) 在控制规律 (24) 作用下是鲁棒稳定的

LMI式：

其中且的奇异值分解为：

此外，状态反馈控制器和观测器的增益分别为：

定理1证明

选择lyapunov函数为：

其中 $，，，$ ，内部各项都是待定的正定矩阵。

对(9)式求导：

根据式(6)可以将式(7)化为下式 (8)，就是前面一个矩阵的转置，下述中就是。

将式合并成矩阵形式：其中

式(11)还是双线性矩阵，需要将其转化成大的矩阵形式，因此构造如下：

为什么构造这个函数呢？因为需要将Lyapunov函数内的非线性项一起结合成为一个大矩阵，就是图中的，这样子若S负定，如果减去的一坨是半正定或正定，那么就能保证是负定的了，就间接得到了我们想要的结果。

其中

这个需要自己反过来推一下，我在纸上推过了确实能得到S的二次型上述表达式；

继续由于还不是我们想要的LMI，其中还是有非线性项，因此我们需要用 引理1(Schur补) 将其包装成为维度更高的矩阵。

则有

故等价于，在两边左右乘，其中的表达式如下：

式(15)其实是为了初步消除矩阵中的非线性项，例如左右两边同时有变量，为非线性项，左右乘后的式子为，后两项可以看成一个LMI变量，这样就可以消去非线性项。

显而易见为正定矩阵，不改变原有矩阵的正定性，因此带入进去得到：

其中

注意到大部分非线性项已经消去，但是仍有部分未消去，比如，这这时候想办法去将前两项位置交换，就可以把待定矩阵放到右边凑成一个LMI变量，就消去了非线性。

假设C能被奇异值分解为：

其中S为半正定阵，U和V为酉阵(即满足，V同理 )，令。

的奇异值分解为：

用 引理2 找到一个满足的，即。

接着，令

这样就用新的LMI变量代替了两个待定矩阵的乘积，整个矩阵就变成了线性矩阵，不包含非线性项。

由式(3)得到：

再由 引理3 得到系统的稳定。

参考文献

[1] R.-J. Liu, G.-P. Liu, M. Wu, F.-C. Xiao, and J. She, “Robust disturbance rejection based on equivalent-input-disturbance approach,” IET Control Theory & Applications, vol. 7, no. 9, pp. 1261–1268, 2013, doi: 10.1049/iet-cta.2013.0054.